Cara menyelesaikan matriks ordo 3 x 3

Cara menyelesaikan matriks ordo 3x3



sebelum mempelajari cara mencari matriks ordo 3x3, terlebih dahulu harus mempelajari tentang minor,kofaktor,dan adjoint.

minor

jika pada ordo matriks 3x3 element baris ke-i dan kolom ke-j di hilangkan maka akan di dapat matriks yang baru dengan ordo 2x2,determinan matrik ordo 2x2 itulah yang yang disebut minor ditulis dengan simbol.

agar lebih jelas perhatikan gambar berikut

Maka minor-minor dari matriks A adalah 

hilangkan baris ke-1 dan kolom ke 1 matriks A diatas maka sisanya adalah elemen elemen di dalam kotak merah di bawah ini.

sehingga minor dari adalah

hilangkan baris ke 1 dan kolom ke 2 matriks A maka 

jadi minor dari matriks A adalah 

Kofaktor

Kofaktor dituliskan dengan simbol dibaca kofaktor baris ke-i dan kolom ke-j dan rumusnnya adalah 

jika diketahui matriks A adalah

dari rumus diatas maka kofaktor-kofaktor dari matriks A diatas adalah

Jadi, kofaktor dari matriks A adalah

Adjoint

Adjoint suatu matriks diperoleh dari transpose matriks kofaktornya.pemahman tentang adjoint,minor,determinan,dan kofaktor sangat dibutuhkan dalam menentukan invers matriks invers 3x3.

Detrminan matiks ordo 3x3

Untuk menentukan determinan matriks ordo 3x3 menggunakan metode sarrus.perhatikan contoh di bawah ini :

Jika matriks B diketahui seperti di bawah ini 

Maka deteerminan matriks B dapat di tentukan dengan metode sarrus yaitu :

Contoh soal :

Tentukan determinan matriks di bawah ini 

(PENYELESAIAN)

Dengan menggunakan metode sarrus, maka determinan matriks B adalah

Rumus invers matriks ordo 3x3

Rumus invers matriks ordo 3x3 adalah 

contoh 2

Tentukan invers matriks A di bawah ini

(PENYELESAIAN)

Dari contoh 1 kofaktor matriks A adalah

Maka adjoint matriks A adalah transpose kofaktor matriks A, yaitu :

Dan determinan matriks A adalah :

Jadi invers matriks A adalah :

Seperti inilah cara menentukan invers matriks 3x3.

Sekian

Terimakasih

Pengenalan Matriks

Pengertian Matriks

Matriks adalah susunan kumpulan bilangan yang diatur dalam baris dan kolom dalam bentuk persegi panjang. Matriks dicirikan dengan elemen-elemen penyusun yang diapit oleh tanda kurung siku "[ ]" atau tanda kurung biasa "( )". Ukuran sebuah matriks dinyatakan dalam satuan ordo, yaitu banyaknya baris dan kolom dalam matriks tersebut. Ordi merupakan karakteristik suatu matriks yang menjadi patokan dalam operasi-operasi antar matriks.

Memahami ordo matriks merupakan hal yang perting karena cukup banyak terjadi  kesalahan dalam mengerjakan soal-soal matriks yang disebabkan oleh kekeliruan dalam memahami ordo matriks. Ketika seorang murid mengartikan ordo secara terbalik yaitu kolom dikali baris tentu hasilnya akan sangat berbeda. Matriks umumnya disimbolkan seperti berikut ini :

Am x n


Keterangan :

A = Nama Matriks

m = Banyaknya baris

n = Banyaknya kolom

m x n = Ordo Matriks


Jenis - Jenis Matriks

Pada matriks terdapat dua diagonal , yaitu diagonal utama dan diagonal sekunder. Pengertian diagonal utama dan diagonal sekunder dapat dilihat dari gambar di bawah ini.

Pada gambar diatas, diagonal utama merupakan garis miring yang dibentuk oleh elemen matriks 5, 7, dan 1 sedangkan diagonal sekunder merupakan garis miring yang dibentuk oleh elemen matriks 3, 7, dan 3.

Berdasarkan jumlah baris dan kolomnya, secara umum matriks dibagi menjadi lima jenis, yaitu :

1. Matriks Persegi

    => adalah matriks yang banyak baris dan kolomnya sama. Dengan kata lain, matriks persegi memiliki ordo n x n seperti 2 x 2 , 3 x 3 , dan seterusnya.

2. Matriks Baris

    => adalah matriks yang terdiri dari satu baris dan beberapa kolom. Matriks baris memiliki ordo 1 x n ; dengan n > 1 seperti 1 x 3 , 1 x 5 , dan lain sebagainya.

3. Matriks Kolom

    => adalah matriks yang terdiri dari satu kolom dan beberapa baris. Matriks kolom memiliki ordo n x 1 ; dengan n > 1 seperti 3 x 1 , 4 x 1 , dan lain sebagainya.

4. Matriks Mendatar

    => adalah matriks yang jumlah kolomnya lebih banyak dari jumlah barisnya misalnya matriks dengan ordo 2x4 ,2x6 ,dan lain sebagainya.

5. Matriks Tegak

    => adalah matriks yang jumlah barisnya lebih banyak dari jumlah kolomnya misalnya matriks dengan ordo 4x2,6x2, dan lain sebagainya.

Berdasarkan pola elemen-elemennya, matriks dibagi menjadi beberapa jenis, yaitu :

1. Martriks Nol

    => adalah matriks berordo m x n yang elemennya-elemennya bernilai nol. 

2. Matriks Diagonal

    => adalah matriks persegi yang elemen-elemen selain diagonal utama benilai nol.

3. Matriks Identitas

    => adalah matriks persegi yang elemen-elemen di diagonal utamanya bernilai 1 dan elemen-elemen selain diagonal utama bernilai nol.

4. Matriks Segitiga

    => matriks segitiga terdiri dari dua jenis yaitu matriks segitiga atas dan matriks segitiga bawah. matriks segitiga atas merupakan matriks yang elemen-elemen di bawah diagonal utamanya bernilai nol. Matriks segitiga bawah merupakan matriks yang elemen-elemen diatas diagonalnya bernilai nol.

5.Matriks Simetris 

  => adalah matriks yang elemen-elemen di bawah dan di atas diagonal utamanya simetris. dengan kata lain pada sel mn sama dengan element pada sel nm,misalnya elemen pada sel 12 sama dengan elemen pada sel 21.Pada gambar dibawah ini dapat dilihat bahwa elemen pada sel 21 sama dengan pada sel 12 yaitu 2.

6.Matriks Skalar 

 =>adalah matriks yang elemen-elemen pada diagonal utamanya sama dan elemen lain bernilai nol.

Sumber :

http://bahanbelajarsekolah.blogspot.co.id/2014/10/pengertian-dan-jenis-jenis-matriks.html

Pentingnya Himpunan

Pentingnya Memperlajari Himpunan

Definisi Himpunan

Himpunan adalah benda atau objek-objek atau lambang-lambang yang mempunyai arti yang dapat didefinisikan dengan jelas mana yang merupakan anggota himpunan dan mana yang bukan anggota himpunan.

Perhatikan obek yang berada di sekeliling kita, misal ada sekelompok mahasiswa yang sedang belajar di kelas A, setumpuk buku yang berada di atas meja belajar, sehimpunan kursi di dalam kelas A, sekawanan itik berbaris menuju sawah, sederetan mobil yang antri  karena macet dan sebagainya, semuanya merupakan contoh himpunan dalam kehidupan sehari-hari.

Jika kita amati semua objek yang berada di sekeliling kita yang dijadikan contoh di atas, dapat didefinisikan dengan jelas. Lezatnya makanan, cantiknya gadis dan indahnya bunga bagi setiap orang relatif. Lezatnya suatu hidangan bagi seseorang atau sekelompok orang belum tentu lezat bagi orang lain atau sekelompok orang lainnya.

Demikian juga indahnya sekuntum bunga bagi seseorang belum tentu indah bagi orang lain. Bagi A yang indah adalah mawar merah, bagi B yang indah adalah melati. Jadi relatif bagi setiap orang.

Benda atau objek yang termasuk dalam himpunan disebut anggota atau elemen atau unsur himpunan tersebut. Umumnya penulisan himpunan menggunakan huruf kapital A, B, C, dan seterusnya, dan anggota himpunan ditulis dengan huruf kecil.

Jenis - jenis himpunan :

1. Himpunan Kosong
Definisi : Himpunan Kosong adalah himpunan yang tidak memiliki satupun elemen atau himpunan dengan kardinalitas = 0 (nol) atau {}

2. Himpunan Bagian
Definisi : Himpunan A dikatakan himpunan bagian (subset) dari himpunan B jika dan hanya jika  setiap elemen A merupakan elemen dari B. Dalam hal ini, B dikatakan superset dari A.

3. Himpunan Sama
Definisi : Hmpunan A dikatakan sama dengan himpunan B jika dan hanya jika keduanya mempunyai elemen yang sama. Dengan kata lain, A sama dengan B jika A adalah himpunan bagian dari B dan B adalah himpunan bagian dari A. Jika tidak demikian, maka kita katakan A tidak sama dengan B.

Tiga hal yang perlu dicatat dalam memeriksa kesamaan dua buah himpunan :

1. Urutan elemen di dalam himpunan tidak penting
Jadi, {1,2,3} = {3,2,1 = {1,,3,2}

2. Pengulangan elemen tidak mempengaruhi kesamaan dua buah himpunan
Jadi, {1,1,1,1} = {1,1} = {1}

3. Untuk tiga buah himpunan, A, B, dan C berlaku aksioma berikkut :

• A = A, B = B dan C = C

• Jika A = B, maka B = A

• jika A = B dan B = C, maka A = C

Kaitan Himpunan Dalam Kehidupan Sehari-Hari

Pada umumnya, belajar matematika identik dengan menghafalkan rumus-rumus tertentu dengan buku panduan yang sangat tebal dan banyak. Itulah yang menyebabkan para pelajar merasa bosan untuk belajar matematika. Sering kali mereka bertanya, "Apa sih manfaat belajar matematika dalam kehidupan sehari-hari? Apa manfaat himpunan?"
Pertanyaan itu mereka lontarkan karena mereka sudah kesal terhadap pelajaran mereka yang terasa sangat membosankan dan tidak perlu. Tetapi sebenarnya, matematika sangat berfungsi dalam kehidupan sehari-hari, baik yang paling mudah sampai yang paling tersulit sekalipun.

Dalam matematika, himpunan adalah segala koleksi benda-benda tertentu yang di anggap sebagai satu kesatuan. Walaupun hal ini merupakan ide yang sederhana, tidak salah jika himpunan merupakan salah satu konsep penting dan mendasar dalam matematika modern, dan karenanya, studi mengenai himpunan sangatlah berguna.

Himpunan biasa digunakan dalam matematika dan dalam kehidupan sehari-hari. Dalam kehidupan sehari-hari kita jumpai pengertian tersebut seperti dalam Himpunan Mahasiswa Jurusan S1 Menejemmen Universitas Esa Unggul, kumpulkan koran bekas, koleksi perangko, kelompok belajar, gugus depan dalam pramuka dan kata sejenis lainnya. Kata-kata himpunan kumpulan koleksi kelompok dalam kehidupan sehari-hari memiliki arti yang sama.

Himpunan merupakan salah satu dasar dari matematika. Konsep dalam matematika dapat dikembangkan pada konsep  himpunan, misalnya garis adalah himpunan titik. Sebetulnya pengertian himpunan mudah dipahami dan dapat diterima secara intuitif. Mengingat demikian pentingnya teori himpunan, maka dalam kesempatan ini akan dijabarkan beberapa konsep mengenai teori himpunan.

Contohnya :

Dalam suatu kelas terdapat 48 siswa. Mereka memilih dua jenis olahraga yang mereka gemari. 29 siswa gemar bermain basket, 27 siswa gemar bermain voli, dan 6 siswa tidak mengemari kedua olahraga tersebut.

Berikut gambar diagramnya :













Sumber :

http://susi-deswati.blogspot.co.id/2012/12/makalah-matematika-himpunan.html

http://sannasinag.blogspot.co.id/2014/04/kaitan-himpunan-dalam-kehidupan-sehari.html